Dinic Algorithm

• Graph에 Level을 부여해서 BFS + DFS 를 짬뽕해 구현한 Edmonds-Karp Algorithm을 개선한 알고리즘
• BFS + DFS 알고리즘이라고 기억하자.
  • Level Graph를 그리는데에 BFS를, 실제로 유량을 흘려줄 때 DFS를 쓴다.
  • Level Graph를 그린 이후에 더이상 흘릴 유량이 없을 때까지 DFS를 반복

// 함수 1. BFS
int makeLevelGraph() {
    fill(level, level + MAX_V, -1);
    // bfs
    queue<int> q;
    q.push(S);
    level[S] = 0;

    while(q.size()) {
        int cur = q.front(); q.pop();
        for(auto& e: adj[cur]) {
            if (level[e.t] != -1 && e.getResidual() > 0) {
                level[e.t] = level[cur] + 1;
                q.push(e.t);
            }
        }
    }

    return (level[T] != -1);
}
// 함수2. DFS
int dfsFlow(int from, int cFlow) {
    if (from == T) return cFlow; // dfs 종료조건

    // &i : 탐색 캐시를 위한 테크닉
    for(int &i = adjStart[from]; adj[from].size(); ++i) {
        auto& e = adj[from][i];
        if (level[e.t] == level[from] + 1 && e.getResidual() > 0) {
            int minFlow = min(cFlow, e.getResidual());
            int tmp = dfsFlow(e.t, minFlow);

            if (tmp > 0) {
                e.flow += tmp;
                e.back->flow -= tmp;
                return tmp; // 경로 하나 찾으면 리턴. 어차피 dfs 반복함.
            }
        }
    }

    return 0; // 흘릴 유량이 없으면 0
}


// 아래가 이제 로직 사용 부분
int totalFlow = 0;
while(makeLevelGraph()) {
    fill(adjStart, adjStart + MAX_V, 0); // 탐색 cache
    while(true) {
        int curFlow = dfsFlow(S, INF);
        if (curFlow == 0) break;
        totalFlow += curFlow;
    }
}

Time Complexity

• Basic Flow Algorithm (Reference): $O(fE)$
• Worst: $O(V^2E)$ (상한)
  • Flow Graph에서 $V < E$ 이므로(아니라면 Flow를 쓸 이유가..), Edmonds-Karp 보다 빠르다고 할 수 있다.