• 문제 제목: 가장 큰 증가하는 부분 수열
• 문제 링크: https://www.acmicpc.net/problem/11055

$O(N^2)$ 부분 수열은 어느 정도 마스터했다고 생각했는데 또 다시 막힌 문제. 그만 막히고 싶다.

풀이

일단 범위는 정직하게 $N \leq 1000$이기 때문에, 전형적인 $O(N^2)$ DP 임을 알 수 있다. 부분 수열 문제는 LIS 정도 제외하면 $N^2$ 로 풀이하는 것이 거의 정석이라.. 다만 여전히 익숙하지 않은지 많은 WA를 내고 말았다. 처음 잘못 접근한 풀이부터 보자.

틀린 코드 (TLE)

처음에 접근했던 방식은 map 을 활용해서 구해보려 했으나 결과적으로는 $O(N^3)$ 이상의 풀이가 되고 말았다. 가능한 모든 sum 을 구하고, 더 이상 업데이트가 없을 때까지 반복해서 루프를 도는 방식인데, 가능한 모든 sum은 엄청 많기 때문에 애시당초에 DP 접근이 아니다. DP는 상태 공간을 줄이는 것이 핵심인데, 합을 기준으로 줄이는 것은 상태공간을 전혀 줄이지 못한다. (결론적인 이야기이지만)

처음에 잘못 생각했던 이유가 $A_i \leq 1000$ 이라는 조건 때문이었다. 전체 i 개수가 1000개까지라서 생각보다 sum 결과의 상태공간이 크지 않을 것이라고 생각했으나(최댓값이 백만이다), 결과적으로는 TLE.

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef unsigned long long ull;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a); ((i)^(b)); ++i)
#ifndef ONLINE_JUDGE
    bool isDebug = true;
    #define _D(...) printf(__VA_ARGS__)
#else
    bool isDebug = false;
    #define _D(...)
#endif

map<int, int> pos;
int main() {
    int N; scanf("%d", &N);
    vector<int> A; A.resize(N + 1);
    for(int i = 1; i <= N; ++i) {
        scanf("%d", &A[i]);
        if (pos.find(A[i]) == pos.end()) pos[A[i]] = i;
    }

    while (true) {
        bool isUpdated = false;
        for(auto it = pos.begin(); it != pos.end();) {
            bool isPartialUpdated = false;
            auto& item = *it;
            int csum = item.first;
            int lpos = item.second;
            for(int i = lpos + 1; i <= N; ++i) {
                if (A[lpos] < A[i]) {
                    int nsum = csum + A[i];
                    if (pos.find(nsum) == pos.end()) {
                        isPartialUpdated = isUpdated = true;
                        pos[nsum] = i;
                    } else {
                        if (pos[nsum] > i) { // 더 빠르게 도달 가능한 합을 찾음
                            isPartialUpdated = isUpdated = true;
                            pos[nsum] = i;
                        }
                    }
                }
            }
            if (isPartialUpdated) {
                it = pos.begin();
                continue;
            } else {
                ++it;
            }
        }
        if (!isUpdated) break;
    }

    printf("%d\n", pos.rbegin()->first);

    return 0;
}

최종 정답 코드

그렇다면 상태 공간을 어떻게 줄일 수 있을까? 그것은 LIS의 $O(N^2)$ 풀이에서 봤던 것처럼, index 기준으로 줄일 수 있다. $DP[i]$ 에는 $i$ 번째에서 가질 수 있는 증가하는 부분 수열의 최댓값을 기록해두면 된다. 그러면, $A_j \leq A_i$가 되는 조건에서, $DP[i] = max(DP[i], DP[j] + A[i])$ 로 업데이트 할 수 있다. 그러면 해당 위치에서의 값을 계속해서 캐싱해서 쓰는 것과 같은 효과이며, 낮은 index부터 기록하면 빠짐없이 모든 경우의 수를 체크할 수 있다.

최종적인 정답은 $DP[i]$ 중에 제일 큰 녀석이다.

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

int main() {
    int N; scanf("%d", &N);
    vector<ll> A(N+1);
    vector<ll> DP(N+1);

    for(int i = 1; i <= N; ++i) scanf("%lld", &A[i]);

    // DP[i] -> i에서의 증가하는 부분 수열의 최대 합
    // N^2 알고리즘으로 점점 채워 나간다.
    DP[1] = A[1]; // 1: 1까지의 최대 합
    ll maxval; maxval = A[1];

    // 상태 전이 식은 아래와 같이 정의할 수 있다.
    // DP[i] = max(DP[i], DP[j] + A[i]) (Only A[j] < A[i] 인 경우에만)
    for(int i = 2; i <= N; ++i) {
        for(int j = 0; j <= i; ++j) {
            if(A[j] < A[i]) {
                DP[i] = max(DP[i], DP[j] + A[i]);
            }
        }
        if (DP[i] > maxval) maxval = DP[i];
    }

    printf("%lld\n", maxval);

    return 0;
}